集合的基本关系

温故夯基

1. 集合常用表示方法有____、____。

2. 常用数集的符号：自然数集_____、正整数集_____、整数集_____、

   有理数集_____、实数集_____。

3. 用列举法表示下列集合

   {数字和为5的两位数} 解：{14,41,23,32,50}

4. 用描述法表示集合：{1,$\frac{1}{2}$$\frac12$,$\frac{1}{3}$$\frac13$,$\frac{1}{4}$$\frac14$,$\frac{1}{5}$$\frac15$} 解：$\{x|x=\frac{1}{n}n\in N^{\ast }\}$$\{ x|x=\frac{1}{n} n \in N^* \}$

问题探究

1. 观察下列两组集合，说出集合A与集合B的关系（共性）

• A={-1，1}，B={-1，0，1，2}
• A=N，B=R
• A={x│x为北京人}，B ={x│x为中国人}
• A=Φ，B= {0}

学习新知

概念

子集：一般地，对于两个集合A与B，，如果集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A．记作$A\subseteq B$$A \subseteq B$（或$B\supseteq A$$B \supseteq A$），这时我们也说集合A是集合B的子集.

真子集：对于两个集合A与B，如果 A⊆ B ，并且 A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集，记作：$A⫋B$$A\subsetneqq B$ 或$B⫌A$$B \supsetneqq A$ , 读作A真包含于B或B真包含A,

注意事项

1. 符号的方向,开口冲向范围较大的集合

2. 不包含的符号 $⊈$$\not\subseteq$、$⊉$$\not\supseteq$

3. 空集是任何集合的子集，即$\varnothing \subseteq A$$\varnothing \subseteq A$

4. 空集是任何非空集合的真子集，即$\varnothing \subseteq A(A\ne \varnothing )$$\varnothing\subseteq A(A\neq \varnothing)$

5. 任何集合是它本身的子集，即$A\subseteq A$$A \subseteq A$

6. 易混符号

   • $\in$$\in$和$\subseteq$$\subseteq$的区别:$\in$$\in$表示元素与集合的关系，$\subseteq$$\subseteq$表示集合与集合的关系。
   • $\varnothing$$\varnothing$和{0}的区别:$\varnothing$$\varnothing$表示没有任何元素的集合，{0}表示有一个元素0的集合

7. 子集具有传递性，即：$\text{若}A\subseteq B,B\subseteq C\text{则}A\subseteq C$$若A \subseteq B,B \subseteq C 则A\subseteq C$

思考

1. 自然数集N，整数集Z，有理数集Q，实数集R之间有什么关系？并用文氏图表示。

   $N⫋Z⫋Q⫋R$$N \subsetneqq Z \subsetneqq Q \subsetneqq R$

2. 判断

   （1）ϕ⊆A √

   （2）ϕ$⫋$$\subsetneqq$ A × 因为A有可能是空集

   （3）A⊆A √

   （4）A$⫋$$\subsetneqq$A ×

3. A⊆B与B ⊇A 能否同时成立？能，即A=B

4. 真子集是否具有传递性？具有$\text{若}A⫋B,B⫋C\text{则}A⫋C$$若A \subsetneqq B,B \subsetneqq C 则A \subsetneqq C$

例题

例1：写出{a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集。

解：子集为$\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}$$\varnothing,\{ a \} , \{ b \}, \{a,b \}$，子集个数为$2^n$$2^n$,$n$$n$为集合中元素的个数；

其中真子集为$\varnothing ,\{a\},\{b\}$$\varnothing,\{ a \} , \{ b \}$，真子集个数为$2^n-1$$2^n-1$,$n$$n$为集合中元素的个数。

易错辨析

1. $\in$$\in$与$⫋$$\subsetneqq$的选择，技巧：当填空左边是数的时候选$\in 、\notin$$\in、\notin$，当填空左边是集合的时候选$⫋、⫌$$\subsetneqq 、 \supsetneqq$
2. 子集、真子集的开口方向选择,技巧：哪边范围大，开口指向哪边。

视频讲解

辨析练习

1. 下列字符哪些是元素，哪些是集合？

   $a、\varnothing 、B、-2.5、\pi 、\{0\}、Q、3、\sqrt{2}$$a、\varnothing、B、-2.5、\pi、\{0\}、Q、3、\sqrt2$

2. 下列说法正确的是（ ）

   A.$0\in \varnothing$$0 \in \varnothing$

   B.$\sqrt{5}\in Q$$\sqrt5 \in Q$

   C.$\varnothing \subseteq \varnothing$$\varnothing \subseteq \varnothing$

3. 已知$Q$$Q$为有理数集，则（ ）

   A.$\sqrt{2}\in Q$$\sqrt2 \in Q$

   B.$\sqrt{2}\notin Q$$\sqrt2 \notin Q$

   C.$\sqrt{2}\subseteq Q$$\sqrt2 \subseteq Q$

   D.$\{\sqrt{2}\}\subseteq Q$$\{\sqrt2\} \subseteq Q$

4. 下列关系正确的是（ ）

   A.$a=\{a\}$$a=\{a\}$

   B.$\{a\}\in \{a,b\}$$\{a\}\in\{a,b\}$

   C.$0\in \varnothing$$0\in \varnothing$

   D.$0\in Z$$0\in Z$

5. 若集合$M=\{a,b,c\}$$M=\{a,b,c\}$，则有（ ）

   A.$\{a\}\in M$$\{a\}\in M$

   B.$c\in M$$c \in M$

   C.$b⫋M$$b \subsetneqq M$

   D.$c=\{c\}$$c=\{c\}$

6. 下列说法正确的是（ ）

   A.$0=\{0\}$$0 = \{0\}$

   B.$0\in N^{\ast }$$0 \in N^*$

   C.$0\in N$$0 \in N$

   D.$0\notin N$$0 \notin N$

7. 下列结论中，不正确的是（ ）

   A.若$a\in N$$a\in N$，则$-a\notin N$$-a \notin N$

   B.若$a\in Z$$a\in Z$，则$a^2\in Z$$a^2 \in Z$

   C.若$a\in Q$$a\in Q$，则$|a|\in Q$$|a|\in Q$

   D.若$a\in R$$a\in R$，则$\sqrt[3]{a}\in$$\sqrt[3]{a} \in$R

8. 下列关系中表述正确的是（ ）

   A.$0\in \{x^2=0\}$$0 \in \{x^2=0\}$

   B.$0\in \{(0,0)\}$$0 \in \{(0,0)\}$

   C.$0\in N^{\ast }$$0 \in N^*$

   D.$0\in N$$0\in N$

9. 若$A=\{(2,-2),(2,2)\}$$A=\{(2,-2),(2,2)\}$,则集合$A$$A$中元素的个数是（ ）

   A.1个

   B.2个

   C.3个

   D.4个

10. 已知集合$A=\{-1,0,1\}$$A=\{-1,0,1\}$，则含有元素0的$A$$A$的子集的个数为（ ）

    A.2

    B.4

    C.6

    D.8

11.下列式子中正确的个数是（ ）

$0\in \{0\}$$0\in\{0\}$、$\{0\}=\varnothing$$\{0\}=\varnothing$、$\varnothing \subseteq \{0\}$$\varnothing \subseteq \{0\}$、$0\subseteq \{0\}$$0\subseteq \{0\}$

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

12.下列式子中正确的个数是（ ）

$\varnothing =0$$\varnothing =0$、$\varnothing =\{0\}$$\varnothing =\{0\}$、$\varnothing =\{\varnothing \}$$\varnothing = \{ \varnothing\}$、$0\in \varnothing$$0 \in \varnothing$、$0\in \{0\}$$0 \in \{0\}$、$\varnothing \in \{\varnothing \}$$\varnothing \in \{ \varnothing\}$、$\varnothing ⫋\{\varnothing \}$$\varnothing \subsetneqq \{ \varnothing\}$

A.3

B.5

C.6

D.7

13. 用适当的符号填空：已知$A=\{x|x=3k+2,k\in Z\},B=\{x|x=6m-1,m\in Z\}$$A=\{x|x=3k+2,k \in Z\},B=\{x|x=6m-1,m \in Z\}$，

    则有17___A; -5___A; 17___B;

14. 用适当符号填空：

    (1)0___$\{x|x^2=0\}$$\{x|x^2=0\}$

    (2)$\varnothing$$\varnothing$___$\{x|x^2+1=0\}$$\{x|x^2+1=0\}$

    (3)$\{0,1\}$$\{0,1\}$___$N$$N$

    (4)$a$$a$____$\{a,b,c\}$$\{a,b,c\}$

15. 集合$A=\{a,b,c,d\}$$A=\{a,b,c,d\}$非空子集的个数是___个。